გვარის ფუძეა საკუთარი სახელი ასრათა, რომელიც არაბული წარმოშობისაა და „ნატვრას“ ნიშნავს. ნაცვალი ასრათა 1705 წელს კათალიკოს დომენტი მეორის სათარხნოს წიგნშია მოხსენიებული. ასრათა მოიხსენიება ამირინდო ამილახვრის მიერ 1744 წელს, თავისი ქალიშვილის – თამარისთვის მზითვად მიცემული ყმების წიგნში.
1886 წელს, ოჰანეზ, ანდრო და ივანე ასრათაშვილები მოიხსენიებიან დიდ თონეთში.
საქართველოში 169 ასრათაშვილი ცხოვრობს: თბილისში – 54, თეთრი წყაროში – 33, რუსთავში – 6. არიან სხვაგანაც.
აკადემიკოს იაკობ ახუაშვილის მიერ მოწოდებული მასალების მიხედვით